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La funcional $\partial_{\vec u}(m)$

Definición 3.3   Sea $\cal E$ un espacio afín normado sobre un espacio vectorial $E$. Sea m un punto de $\cal E$. Para todo $\vec u \in E$ definimos una aplicación $\partial_{\vec u}(m)\colon {\cal D}(m) \to {\mathbb{R}}$ por:

$$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(m) f= \colon \partial_{\vec u}f(m) \quad \forall \, f \in {\cal D}(m)}$}$$

A las aplicaciones $\partial_{\vec u}(m)$ nos referiremos como FUNCIONALES sobre ${\cal D}(m)$.

La palabra FUNCIONAL se usa comúnmente para designar a una aplicación generalmente de valores en ${\mathbb{R}}$ o ${\mathbb{C}}$ y cuyo dominio es algún conjunto de ``funciones''.

Teorema 3.8   $\forall \, \vec u \in E$ la funcional $\partial_{\vec u}(m)\colon {\cal D}(m) \to {\mathbb{R}}$ goza de las siguientes propiedades:

1. $\forall \, f,\, g \in {\cal D}(m)\; \forall \,\alpha,\beta \in {\mathbb{R}}$
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(m) (\alpha f+ \beta g... ...\alpha \partial_{\vec u}(m) f + \beta \partial_{\vec u}(m) g}$}$$
   
   

2. $\forall \, f,\, g \in {\cal D}(m)$
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(m) (fg) = g(m) \partial_{\vec u}(m) f + f(m) \partial_{\vec u}(m) g}$}$$
   
   

3. Si $f\in {\cal D}(m)$, $f(m) =0$ y además $g \in {\cal C}(m)$ se tiene
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(m) (fg) = g(m) \partial_{\vec u}(m) f}$}$$
   
   

A las propiedades a), b) y c) nos referiremos como las tres PROPIEDADES LEIBNIZIANAS de la funcional $\partial_{\vec u}(m)$.

Demostración
Teniendo en cuenta el carácter local de la diferenciación, vemos que el teorema 4.3.8 es el mismo, a menos de la notación, que el teorema 4.3.6. $\quad\Box$

Definición 3.4   Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita y $m$ un punto de $\cal E$. Se llama VECTOR TANGENTE AL ESPACIO AF´iN EN EL PUNTO $m$ a toda funcional $L \colon {\cal D}(m) \to {\mathbb{R}}$ que goza de las tres propiedades leibnizianas. Explícitamente:

1. $\forall \, f,\, g \in {\cal D}(m) ,\; \forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$
   
   $$\fbox{${\displaystyle L(\alpha f + \beta g) = \alpha L f + \beta L g}$}$$
   
   

2. $\forall \, f,\, g \in {\cal D}(m)$
   
   $$\fbox{${\displaystyle L(f g) = g(m) L f + f(m) L g}$}$$
   
   

3. Si $f\in {\cal D}(m),\; f(m)=0$ y además $g \in {\cal C}(m)$ vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle L(f g) = g(m) L f}$}$$
   
   

Nota
Puede sorprender en la definición 4.3.2 la restricción, a priori injustificada, a espacios afines de dimensión finita. Pero esta restricción es parte de la hipótesis en el importante teorema 4.3.10 (Teorema de Ellis), por lo cual resulta prudente la limitación que nos impusimos.

Observación
Sea $L$ un vector tangente a $\cal E$ en $m$. Designemos por $1_V$ la función constante de valor 1 $\colon V \to {\mathbb{R}}$, donde $V$ es una vecindad abierta de $m$ en $\cal E$.

Vale $(1_V)^2 = 1_V$, de donde por la propiedad leibniziana b) de $L$:

$$L(1_V)= 2 \, 1_V(m) L (1_V)= 2 L(1_V)$$

es decir $L(1_V)=0$. Más generalmente, combinando con la propiedad leibniziana a) de $L$:

$$\fbox{${\displaystyle L(\alpha \, 1_V) = 0 \quad \forall \, \alpha \in {\mathbb R}}$}$$

Aquí la función $\alpha \, 1_V$ no es otra que la función $V \to {\mathbb{R}}$ constante de valor $\alpha$.

Teorema 3.9 (y definición)   Sean $\cal E$ un espacio afín de dimensión finita y $m$ un punto de $\cal E$. El conjunto de todos los vectores tangentes a $\cal E$ en m es un espacio vectorial real. Se llama el ESPACIO VECTORIAL TANGENTE a $\cal E$ en el punto $m$ y se designa por la notación ${\cal E}_m$.

Demostración
Sean $L,\,M$ vectores tangentes a $\cal E$ en $m$ y sean $\lambda,\,\mu \in {\mathbb{R}}$. Debemos probar que la funcional $\lambda L + \mu M$ (definida por $(\lambda L + \mu M) (f) =$ $\lambda L f + \mu M f$, $\forall f\in {\cal D}(m)$) es también un vector tangente a $\cal E$ en $m$, vale decir posee las tres propiedades leibnizianas. Ahora bien:

1. $\forall\, f,g \in {\cal D}(m)$ y $\forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ tenemos:
   $$\begin{eqnarray*} (\lambda L + \mu M)(\alpha f+ \beta g) &=& \lambda L(\alpha f ... ... &=& \alpha (\lambda L + \mu M ) f+ \beta (\lambda L + \mu M) g \end{eqnarray*}$$
   
   
   luego la funcional $\lambda L + \mu M$ posee la propiedad leibniziana a).
2. $\forall\, f,g \in {\cal D}(m)$ tenemos:
   $$\begin{eqnarray*} (\lambda L + \mu M) (fg) &=& \lambda L(fg) + \mu M (fg) \\ &... ...) \\ &=& g(m)(\lambda L + \mu M)f + f(m) (\lambda L + \mu M) g \end{eqnarray*}$$
   
   
   lo que prueba que $\lambda L + \mu M$ posee la propiedad leibniziana b).
3. Sea $f\in {\cal D}(m)$ tal que $f(m) =0$ y sea $g \in {\cal C}(m)$. Se verifica:
   $$\begin{eqnarray*} (\lambda L + \mu M) (fg) &=& \lambda L (fg) + \mu M (fg) \\ ... ...ambda L f + \mu M f \right) \\ &=& g(m) (\lambda L + \mu M) f \end{eqnarray*}$$
   
   
   Así pues, la funcional $\lambda L + \mu M$ posee también la propiedad leibniziana c). $\quad\Box$

Teorema 3.10 (de Ellis)   Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita sobre un espacio vectorial $E$ y $m$ un punto de $\cal E$. La aplicación:

$$\vec u \mapsto \partial_{\vec u} (m)$$

es un isomorfismo lineal (canónico) del espacio vectorial $E$ sobre el espacio vectorial ${\cal E}_m$, tangente a $\cal E$ en el punto $m$.

Sea $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ un referencial en $\cal E$ y sean $\pi^i \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}$ $i=1,\ldots,n$ las ``coordenadas'' con respecto a dicho referencial, es decir:

$$\fbox{${\displaystyle \pi^i \left(I + \sum_{k=1}^n \xi^k \vec... ...= \xi^i \quad \forall (\xi^1,\ldots,\xi^n) \in {\mathbb R}^n}$}$$

$\forall\, L \in {\cal E}_m$ se tiene $L = \partial_{\vec u}(m)$ donde:

$$\fbox{${\displaystyle \vec u =\sum_{k=1}^n (L \pi^k)\vec{e}_k}$}$$

Demostración

1. Por el teorema 4.3.8, $\forall \, \vec u \in E$ se tiene $\partial_{\vec u}(m) \in {\cal E}_m$. Así pues, la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$ es una de $E$ en ${\cal E}_m$.

   Sean $\vec u,\, \vec v \in E$ y $\alpha, \, \beta \in {\mathbb{R}}$. $\forall \, f \in {\cal D}(m)$ vale en virtud de la linealidad de la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}f(m)$ (observación 2 después del teorema 4.3.1):

   $$\begin{eqnarray*} \partial_{\alpha \vec u + \beta \vec v}(m) f &=& \partial_{\al... ...pha \partial_{\vec u}(m) + \beta \partial_{\vec v}(m) \right) f \end{eqnarray*}$$
   
   
   o sea, quitando el argumento $f$:
   
   $$\partial_{\alpha \vec u + \beta \vec v}(m) = \alpha \partial_{\vec u}(m) + \beta \partial_{\vec v}(m)$$
   
   
   Esta fórmula prueba que la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$ es una aplicación lineal de $E$ en ${\cal E}_m$.
2. Inyectividad de la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$

   Introduzcamos un referencial $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y las correspondientes coordenadas $\pi^1,\ldots,\pi^n \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}$. Sea $i \in [\![ 1,n ]\!]$. $\forall \, p \in \cal E$ tenemos , de donde, si $\vec v \in E$:
   

   $$\pi^i (p + \vec v) = \langle (p-I)+ \vec v , \mathop{\vtop{\i... ...terlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \rangle$$
   
   
   Esta fórmula prueba que $\pi^i$ es una aplicación afín ${\cal E} \to {\mathbb{R}}$ (necesariamente continua, pues $\cal E$ es de dimensión finita) y su parte lineal es . Por el teorema 4.3.4 tenemos:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle d\pi^i(p) = \mathop{\vtop{\ialign... ...noalign{\kern-5pt}}}}\limits \quad \forall \, p \in \cal E}$}}$$ (23)

   
   
   Sea ahora ${\displaystyle \vec u = \sum_{i=1}^n u^i \vec{e}_i}$ un vector de $E$ tal que $\partial_{\vec u}(m)=0$. Vale pues, $\forall \, f \in {\cal D}(m)$: $\partial_{\vec u} f(m) =0$ o sea:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle d f(m) \vec u =0}$}}$$ (24)

   
   
   Al tomar en (23): $f= \pi^k$ obtenemos en virtud de (24):
   
   $$\langle \vec u, \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   Ya que esto vale $\forall \, k \in [\![ 1,n ]\!]$, queda probado que $\vec u =0$. Así pues, $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$ es una aplicación lineal inyectiva de E en ${\cal E}_m$.
3. Suprayectividad de la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$.

   Sea $f\in {\cal D}(m)$ arbitrario. $f$ es una función $V \to {\mathbb{R}}$, donde $V$ es una vecindad abierta del punto $m$ en $\cal E$.

   Por definición de la diferencial (fórmula (6) de la observación 1, después del teorema 4.3.1) podemos escribir $\forall \, p \in V$:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle f(p) = f(m) + df(m) (p-m) + \theta(p)}$}}$$ (25)

   
   
   donde la función $\theta \colon V \to {\mathbb{R}}$ es de la forma
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \theta (p) = \Vert p-m \Vert \eta (p)}$}}$$ (26)

   
   
   con $\eta \colon V \to {\mathbb{R}}$ tal que:
   
   $$\lim_{p \to m} \eta (p) =0$$
   
   
   Cabe, si es necesario, redefinir $\eta$ en $m$, poniendo $\eta(m)=0$. Mediante este convenio $\eta$ será continua en el punto $m$. Pongamos:
   
   $$m=I + \sum_{k=1}^n m^k \vec{e}_k \quad \mbox{y} \quad p= I + \sum_{k=1}^n p^k \vec{e}_k \quad \forall \, p \in V$$
   
   
   Usando estas relaciones y la fórmula (8) en la observación 2, después del teorema 4.3.1 podemos escribir (26) en la forma:
   
   $$f(p) = f(m) + \sum_{k=1}^n (p^k - m^k) \partial_k f(m) + \theta (p) \quad \forall \, p \in V$$
   
   
   o sea, al quitar el argumento $p$:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle f = f(m) + \sum_{k=1}^n (\pi^k - m^k) \partial_k f(m) + \theta}$}}$$ (27)

   
   
   De la fórmula (27) se deprende que $\theta \in {\cal D}(m)$, pues los demás términos en (27) son elementos de ${\cal D}(m)$.

   Sea $L$ un vector tangente arbitrario a $\cal E$ en $m$, elemento de ${\cal E}_m$. Aplicando $L$ a los dos miembros de (27) obtenemos por la propiedad leibniziana a) de $L$ y la observación después de la definición 4.3.4:
   

   $$Lf= \sum_{k=1}^n (L\pi^k) \partial_k f(m) + L\theta$$ (28)

   
   
   Evaluemos $L \theta$. Sea $\phi \colon V \to {\mathbb{R}}$ la función:
   

   $$\phi (p) = \colon \Vert p-m\Vert \eta(p)^{1\over 3} \quad \forall \, p \in V$$ (29)

   
   
   Teniendo en cuenta que $\phi(m)=0$, vemos que la relación (29) es caso particular de (7) de la observación 1 después del teorema 4.3.1 con $\phi(m)=0$ y $d\phi(m)=0$. Así pues, $\phi \in {\cal D}(m)$ y $\phi(m)=0$. Por (26) y (29) tenemos:
   

   $$\theta = \phi \cdot \eta^{2\over 3}$$ (30)

   
   
   Ya que $\eta$ y también $\eta^{2 \over 3}$ son funciones continuas en $m$, obtenemos de (30) por la propiedad leibniziana c) de $L$:
   
   $$L \theta = \eta^{2 \over 3} (m) \cdot L \theta = 0 \cdot L \phi =0$$
   
   
   La fórmula (28) reza pues simplemente:
   

   $$L f= \sum_{k=1}^n (L \pi^k ) \partial_k f(m)$$ (31)

   
   
   Al introducir el vector:
   

   $$\vec{u} = \sum_{k=1}^n (L \pi^k) \vec{e}_k \;\in E$$ (32)

   
   
   la relación (31) se escribe:
   
   $$L f= \sum_{k=1}^n (L \pi^k) \partial_k f(m) = df(m) \vec u$$
   
   
   o sea:
   
   $$Lf = \partial_{\vec u}(m) f$$
   
   
   Puesto que $f$ es un elemento arbitrario de ${\cal D}(m)$, tenemos demostrado:
   
   $$L = \partial_{\vec u}$$
   
   
   con $\vec u \in E$ dado por (32). La aplicación lineal $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(m)$ de $E$ en ${\cal E}_m$ es pues, superyectiva. $\quad\Box$

El teorema de Ellis dice esencialmente que todos los espacios vectoriales tangentes ${\cal E}_m$ son canónicamente isomorfos al espacio vectorial $E$, asociado al espacio afín $\cal E$. Pueden todos identificarse con el espacio vectorial $E$.

Como consecuencia inmediata del teorema 4.3.10 notamos también que:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim } {\cal E}_m = \mbox{\rm dim } {\cal E} \quad \forall\, m \in \cal E}$}$$

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