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Isomorfismos $C^k$

Definición 6.7   Sean $U,\, V$ abiertos en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ y $\varphi$ una aplicación $U \to V$. Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$. $\varphi$ se dice un ISOMORFISMO DE SOBRE si:

1. $\varphi$ es una biyección de $U$ sobre $V$.
2. $\varphi$ es de clase $C^k$ en $U$.
3. $\varphi^{-1}$ es de clase $C^k$ en $V$.

Teorema 6.9   Si $U$, $V$ son abiertos en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ y $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $U$ sobre $V$, $\forall\, p \in U$ $d \varphi(p)$ es un automorfismo lineal de $E$.

Demostración
Según la definición 4.6.6 existen abiertos $U_1,\, V_1$ en $\cal E$ tales que:

$$U= U_1 \cap \overline{\mbox{\frakiii S}} \quad V= V_1 \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}$$

y aplicaciones $\tilde \varphi \colon U_1 \to \cal E$ y $\tilde \psi \colon V_1 \to \cal E$ de clase $C^k$ tales que $\varphi = \tilde \varphi_U$ y $\varphi^{-1} = \tilde \psi_V$.

$\forall\, p \in U$ vale $\tilde \psi (\tilde \varphi (p)) = (\varphi^{-1} \circ \varphi ) (p) =p$ y

$$\forall q \in V :\;\; \tilde \varphi( \tilde \psi (q)) = (\varphi \circ \varphi^{-1} )(q) =q.$$

De ahí, por la regla de la cadena:

$$d \tilde \psi ( \tilde \varphi (p)) \circ d \tilde \varphi (p) = {\cal I}_E \quad \forall\, p \in U$$

y

$$d \tilde \varphi( \tilde \psi (p)) \circ d \tilde \psi (q) = {\cal I}_E \quad \forall\, q \in V$$

o sea:

$$d \varphi^{-1} (\varphi (p)) \circ d \varphi(p) = {\cal I}_E \quad \forall \, p \in U$$

y

$$d \varphi ( \varphi^{-1} (q)) \circ d \varphi^{-1} (q) = {\cal I}_E$$

Tomando aquí $q= \varphi (p)$, vemos que $d \varphi(p)$ es un automorfismo lineal de $E$ (y $d \varphi^{-1}( \varphi (p))$ es el automorfismo inverso). $\quad\Box$

Teorema 6.10   Sean $U$, $V$ conjuntos abiertos en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ tales que existe un isomorfismo $C^k$ ( $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$) de $U$ sobre $V$. Entonces, bien ambos $U$ y $V$ son abiertos de primera especie o bien ambos $U$ y $V$ son abiertos de segunda especie en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$.

Demostración
Sea $\varphi$ un isomorfismo $C^k$ de $U$ sobre $V$. Razonando por contradicción supongamos que uno de los abiertos $U$, $V$ en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ es de primera y el otro de segunda especie. Intercambiando, si es necesario, $U$ con $V$ y sustituyendo $\varphi$ por $\varphi^{-1}$, supondremos que $U$ es de primera especie, es decir abierto en $\cal E$ y $V$ es de segunda especie.

Podemos considerar $\varphi$ como aplicación del abierto $U$ de $\cal E$ en $\cal E$. Como tal $\varphi$ es de clase $C^k$ y, por el teorema 4.6.9, $\forall \, p \in U,\, d \varphi(p)$ es un automorfismo lineal de $E$. De ahí por el teorema 4.5.11 $\varphi$ es una aplicación abierta $U \to \cal E$. En particular $\varphi(U)$ es un abierto de $\cal E$. Esto contradice el hecho de que $\varphi(U)=V$ es un abierto de segunda especie de $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$. La contradicción obtenida termina la demostración. $\quad\Box$

Para no interrumpir la continuidad de la exposición, admitiremos por el momento el siguiente teorema, cuya afirmación b) no es trivial. La demostración la encontrará el lector al final del §2 del capítulo 9.

Teorema 6.11   (Carácter local de la propiedad de una aplicación de ser de clase $C^k$ en un abierto de $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$) Sean $U$ un abierto de $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ y $\varphi$ una aplicación $U \to \cal F$.

1. Si $\varphi$ es de clase $C^k$ en $U$ y $V$ es un abierto de $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ contenido en $U$, $\varphi$ es de clase $C^k$ en $V$.
2. Sea $\left( U_i \right)_{i \in I}$ un recubrimiento abierto de $U$. (Los $U_i$ son abiertos en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$.) Si $\forall \, i \in I$ la aplicación $\varphi_i = \colon \varphi_{U_i}$ es de clase $C^k$ en $U_i$, $\varphi$ es de clase $C^k$ en $U$.

Teorema 6.12   Sean $S,\, T$ abiertos en semiespacios cerrados $\overline{\mbox{\frakiii S}}^{(n)}$, $\overline{\mbox{\frakiii S}}^{(m)}$ de sendos espacios afines normados ${\cal E}_n$, ${\cal E}_m$ de dimensiones res-pecrespectivas $n$, $m$. Sean $\cal F$ un espacio afín normado, $\varphi \colon S \to T$, $\psi \colon T \to \cal F$ aplicaciones de clase $C^k$. La aplicación $\psi \circ \varphi \colon S \to \cal F$ es de clase $C^k$.

Demostración
En virtud del teorema 4.6.11, basta probar que todo punto $p \in S$ posee una vecindad abierto $V$ con respecto a $\overline{\mbox{\frakiii S}}^{(n)}$, contenida en $S$, tal que la restricción de $\psi\circ \varphi$ es de clase $C^k$.

Por hipótesis existen abiertos $\widetilde{S}, \, \widetilde{T}$ de sendos espacios afines ${\cal E}_n$, ${\cal E}_m$ tales que $\widetilde{S} \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}^{(n)} = S$, $\widetilde T \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}^{(m)} = T$ y ampliaciones $\widetilde \varphi$, $\widetilde \psi$ de clase $C^k$ (C.D.) de sendas aplicaciones $\varphi$, $\psi$ a dichos abiertos $\widetilde S$, $\widetilde T$.

Sea $p$ un punto arbitrario de $S$. Por continuidad de $\widetilde \varphi$ en el punto $p$ existe una vecindad abierta $\widetilde V$ de $p$ en ${\cal E}_n$, contenida en $\widetilde S$, tal que $\widetilde{\varphi }( \widetilde V)$ está contenida en la vecindad $\widetilde T$ de $\varphi(p)$. Restringimos ahora $\widetilde{\varphi}$ a $\widetilde V$. En virtud del teorema 4.5.6, la aplicación $\widetilde{\psi} \circ \widetilde \varphi$ será de clase $C^k$ en $\widetilde V$.

Sea $V = \colon \widetilde{V} \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}^{(n)}$. Entonces $V$ es una vecindad abierta de $p$ con respecto al semiespacio $\overline{\mbox{\frakiii S}}^{(n)}$ y se cumple $V \subset S$, por tanto la aplicación $\psi\circ \varphi$ es de clase $C^k$ en $V$. $\quad\Box$

Teorema 6.13   Sean $V$ un abierto de $\overline S$ y $F$ un espacio vectorial normado.

1. El conjunto $C^k (V, F)$ de las aplicaciones $V \to F$ de clase $C^k$ es un espacio vectorial real.
2. Si $\varphi \in C^k(V, F)$ y $f \in C^k (V, {\mathbb{R}})$ la aplicación $f \varphi \colon V \to F$ es de clase $C^k$. (Un caso particular frecuente es $F= {\mathbb{R}}$).

Demostración de la afirmación a)

Sean $\varphi_1,\, \varphi_2 \in C^k (V, F)$ y $\alpha_1,\, \alpha_2 \in {\mathbb{R}}$. Existen abiertos $U_1,\, U_2$ de $\cal E$ tales que $U_1 \cap \overline S = U_2 \cap \overline S = V$ y ampliaciones $\widetilde{\varphi}_1, \widetilde{\varphi}_2$ de las aplicaciones $\varphi_1,\, \varphi_2$ a sendos abiertos $U_1,\, U_2$ los cuales son de clase $C^k$ (según C.D.)

Sea $U= \colon U_1 \cap U_2$. $U$ es un abierto en $\cal E$ y cumple:

$$U \cap \overline S = \left( U_1 \cap \overline S \right) \cap \left( U_2 \cap \overline S \right) = V$$

Por el teorema 4.5.4 la ampliación $\alpha_1 \widetilde{\varphi}_1 + \alpha_2 \widetilde{\varphi}_2$ de $\alpha_1 \varphi_1 + \alpha_2 \varphi_2$ a $U$ es de clase $C^k$ (C.D.). De ahí la conclusión.

La demostración de la afirmación b) es análoga. $\quad\Box$

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