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Variedades diferenciables

A partir de este capítulo haremos un uso (moderado) de topología general. Emplearemos la siguiente:

Terminología (N. Bourbaki)

1. Un espacio topológico $X$ se dice ESPACIO SEPARADO si satisface el siguiente AXIOMA DE HAUSDORFF o un axioma equivalente:

   Dos puntos distintos arbitrarios de $X$ poseen sendas vecindades ajenas.

2. Un espacio topológico $X$ se dice ESPACIO COMPACTO si:
   1. es separado,
   2. satisface el siguiente AXIOMA DE BOREL-LEBESGUE o un axioma equivalente.

      Todo recubrimiento abierto de $X$ contiene un subrecubrimiento finito de $X$

3. Un espacio topológico $X$ se dice ESPACIO LOCALMENTE COMPACTO si
   1. es separado, y
   2. todo punto de $X$ posee una vecindad compacta.

La mayoría de los autores anglosajones omiten la exigencia de separación en las definiciones b) y c). Esta omisión es inconveniente especialmente en el caso de la definición c), pues, un espacio que ellos llaman ``localmente compacto '', si no es separado, no tiene prácticamente ningunas propiedades interesantes. Esto obliga a los mencionados autores a hablar constantemente de espacios localmente compactos ``de Hausdorff'', es decir, separados. Tal costumbre es algo molesta y poco estética. Una crítica semejante aunque en grado menor, vale para la definición b) con omisión de la condición de separación.

Un espacio no necesariamente separado, que satisface el axioma de Borel-Lebesgue, se llama según Bourbaki, un ESPACIO CASI COMPACTO.

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