Siguiente: Aplicaciones diferenciables Arriba: Variedades con borde Anterior: Subvariedad abierta de una

Producto de una variedad con borde por una variedad diferenciable

Si $m,\, n \in {\mathbb{N}}$ observamos que:

$$\fbox{${\displaystyle \overline{{{\frak S}}^{(n)}} \times {\mathbb R}^m = \overline{{{\frak S}}^{(n+m)}}}$}$$

donde el primer miembro es producto de espacios topológicos.

Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$. Sea M una variedad con borde de clase $C^k$ de dimensión n y N una variedad (sin borde) de clase $C^k$, de dimensión m. Sea $(U,x)$ un mapa del espacio $M$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ y $(V, y)$ un mapa de $N$ en ${\mathbb{R}}^m$. Consideremos la aplicación:

$$x \times y \colon U \times V \to x(U) \times y(V) \subset \ov... ...k S}}^n} \times {\mathbb{R}}^m = \overline{{{\frak S}}^{(n+m)}}$$

Ya que las aplicaciones:

$$U \times V \to x(U)\ ,\ (p,q) \mapsto x(p) \mbox{ y }\ U \times V \to y(V)\ ,\ y(p,q) \mapsto y(q)$$

son continuas, la aplicación:

$$x \times y \colon U \times V \to x(U) \times y(V)$$

es continua.

Análogamente $(x \times y)^{-1} = x^{-1} \times y^{-1} \colon x(U) \times y(V) \to U \times V$ es una aplicación continua. Así pues,

$x \times y$ es un homeomorfismo del abierto $U \times V$ de $M \times N$ sobre el abierto $x(U) \times y(V)$ de $\overline{{\frak S}^{(n)}} \times {\mathbb{R}}^m = \overline{{\frak S}^{(n+m)}}$, o sea, $(U \times V, x \times y)$ es un mapa en $\overline{{{\frak S}}^{(n+m)}}$ del espacio topológico $M \times N$.

Sean ahora $(U,x),\, (U^\prime, x^\prime)\; (U \cap U^\prime \ne \emptyset)$, mapas compatibles $C^k$ de $M$ en ${\frak S}^{(n)}$ y $(V,y),\, (V^\prime, y^\prime)$ mapas compatibles $C^k$ de $N$ en ${\mathbb{R}}^m$.

La hipótesis implica que el cambio de mapa:

$$\varphi = \colon x^\prime \circ x^{-1} \colon x(U \cap U^\prime) \to x^\prime (U \cap U^\prime)$$

es de clase $C^k$ según la definición 4.6.6, o sea, existe un abierto $\Omega$ en ${\mathbb{R}}^n$ que contiene $x(U \cap U^\prime)$ y una aplicación $\widetilde \varphi$ de clase $C^k$ $\colon \Omega \to {\mathbb{R}}^n$ cuya restricción a $x(U \cap U^\prime)$ es $\varphi$. También el cambio de mapa

$$\psi = \colon y^\prime \circ y^{-1} \colon y(V \cap V^\prime) \to y^\prime (V \cap V^\prime) \quad \mbox{\rm es de clase } C^k$$

Sean $\pi \colon {\mathbb{R}}^{n+m} \to {\mathbb{R}}^n$ y $\pi^\prime \colon {\mathbb{R}}^{n+m} \to {\mathbb{R}}^m$ las proyecciones canónicas. El cambio de mapa:

$$(x^\prime \times y^\prime) \circ (x\times y)^{-1} \colon x(U ... ...\to x^\prime(U \cap U^\prime) \times y^\prime (V \cap V^\prime)$$

es $(\varphi \circ \pi , \psi \circ \pi^\prime)$, restricción de la aplicación $(\widetilde{\varphi} \circ \pi, \psi \circ \pi^\prime)$ al abierto
$\Omega \times y( V \cap V^\prime)$ de ${\mathbb{R}}^{n+m}$. La última aplicación es de clase $C^k$, luego el cambio de mapa $(x^\prime \times y^\prime) \circ (x \times y)^{-1}$ es de clase $C^k$ según la definición 4.6.6, o sea, los mapas $(U \times V , x \times y),\, (U^\prime \times V^\prime, x^\prime\times y^\prime)$ del producto $M \times N$ son compatibles $C^k$.

Se sigue de ahí que si ${\cal U} = \colon \left( U_\alpha, x_\alpha \right)_{\alpha \in I},\, {\cal V} =\colon \left( V_\beta, x_\beta \right)_{\beta \in J}$ son atlas admisibles respectivamente de la variedad con borde $M$ y de la variedad $N$, el atlas ${\cal U} \times {\cal V}= \colon \left( U_\alpha \times V_\beta, x_\alpha \times y_\beta \right)_{\alpha,\beta \in I \times J}$ es un atlas coherente $C^k$ en $\overline{{{\frak S}}^{(n+m)}}$ del espacio $M \times N$.

Como en la sección 5.1 (después del teorema 5.1.12) se ve que la clase de equivalencia de este altas es independiente de la elección de los atlas admisibles $\cal U$ y $\cal V$. Dicha clase de equivalencia define sobre el espacio $M \times N$ la estructura de variedad con borde de clase $C^k$, de dimensión $n+m$, llamada el PRODUCTO DE LA VARIEDAD CON BORDE POR LA VARIEDAD DIFERENCIABLE . Claramente:

$$\fbox{${\displaystyle {\frak Bd}(M \times N) = \left({\frak Bd}\left(M \right)\right) \times N}$}$$

Si $(U,x)$ describe el conjunto de los mapas admisibles de segunda especie de $M$ y $(V, y)$ describe un atlas admisible de $N$, el mapa $(\widetilde{U} \times V, \widetilde{x} \times y)$ describe un atlas admisible de ${\frak Bd}(M \times N)$.

Advertencia
Si ambas M, N son variedades con borde, el espacio $M \times N$ no posee una estructura natural de variedad con borde.

Ejemplos

1. El espacio $[0 , 1] \times B_n$ es una variedad con borde de dimensión $n-1$. Su borde es la reunión de los dos discos abiertos ajenos $\{ 0 \} \times B_n$ y $\{ 1 \} \times B_n$.
2. $[0,1] \times \overline{B}_n$ no posee una estructura natural de variedad con borde.

Siguiente: Aplicaciones diferenciables Arriba: Variedades con borde Anterior: Subvariedad abierta de una