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Aplicaciones diferenciables

Definición 5.8   Sean $M$, $N$ variedades con borde de clase $C^k$ de sendas dimensiones $n$, $m$ y $\varphi$ una aplicación $M \to N$. Se dice que la aplicación $\varphi$ es DIFERENCIABLE en un punto $p \in M$ si existen mapas admisibles $(U,x)$ de $M$ en el punto p (en $\overline{{\frak S}^{(n)}}$) y $(V, y)$ de $N$ en el punto $\varphi(p)$ (en $\overline{{\frak S}^{(m)}}$) tales que $\varphi (U) \subset V$ y la aplicación $\widetilde{\varphi} = y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V) \subset \overline{{{\frak S}}^{(m)}} \subset {\mathbb{R}}^m$ (``$\varphi$ leída en los mapas considerados'') es diferenciable en el punto $x(p)$ según la definición 4.6.1.

Observación (Carácter local de la diferenciación)

Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ con bordes y $\varphi$ una aplicación $M \to N$. Sean $m$ un punto de $M$ y $G$ una vecindad abierta de $m$ en $M$. $\varphi$ es diferenciable en el punto $m$, si y sólo si la restricción $\varphi_G$ de $\varphi$ a la subvariedad abierta $G$ de $M$ es diferenciable en el punto $m$.

Demostración
Sean $(U,x),\, (V,y)$ mapas admisibles de sendas variedades con bordes $M,\, N$ en sendos puntos $m,\, \varphi(m)$ tales que $U \subset G$ y $\varphi (U) \subset V$. Decir que $\varphi$ es diferenciable en $m$ significa que:

$$% latex2html id marker 66223\left. \mbox{\begin{minipage}{... ...'on~\ref{def427} en el punto $x(m)$ \end{minipage} } \right\}$$ (11)

Pero $(U,x)$ es también un mapa admisible de la subvariedad abierta $G$ de $M$ en el punto $m$.

Así pues, la afirmación (11) significa también que la restricción $\varphi_G$ es diferenciable en $m$. $\quad\Box$

He aquí un teorema análogo al teorema 5.2.3 que hace manejable la definición precedente.

Teorema 5.6   Si $\varphi \colon M \to N$ es una aplicación diferenciable en un punto $p \in M$, para todo par de mapas admisibles $(U^\prime , x^\prime)$ de $M$ en $p$, $(V^\prime, y^\prime)$ de $N$ en $\varphi(p)$ tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$ la aplicación $y^\prime \circ \varphi \colon {x^\prime}^{-1}$ de $x^\prime (U^\prime)$ en $y^\prime (V^\prime)$ es diferenciable en el punto $x^\prime (p)$ según la definición 4.6.5.

Demostración
Ponemos $\widetilde{\varphi} = \colon y \circ \varphi \colon x^{-1}$. Restringimos $x$ y $x^\prime$ a $U \cap U^\prime$. Por hipótesis $\widetilde{\varphi} \colon x(U \cap U^\prime) \to y(V \cap V^\prime)$ es diferenciable en el punto $x(p)$ según la definición 4.6.5. $\varphi$ leída en los mapas $(U^\prime, x^\prime),\, (V^\prime, y^\prime)$ es la aplicación:

$$y^\prime \circ \varphi \circ {x^\prime}^{-1} = \eta \circ \widetilde{\varphi}\circ \xi$$ (12)

donde:

$$\begin{eqnarray*} \xi = \colon x \circ {x^\prime}^{-1} &\colon& x^\prime (U \cap... ...{-1} &\colon& y(V \cap V^\prime) \to y^\prime (V \cap V^\prime) \end{eqnarray*}$$

son los cambios de mapas. Éstos son isomorfismos $C^k$ según las definiciones 4.6.6 y 4.6.7. Existen, pues, un abierto $\Lambda$ del espacio real ${\mathbb{R}}^n$ tal que $\Lambda \cap \overline{{\frak S}^{(n)}} = x^\prime (U \cap U^\prime)$, un abierto $\Sigma$ de ${\mathbb{R}}^m$ tal que $\Sigma \cap \overline{{\frak S}^{(m)}} = y(V \cap V^\prime)$, una aplicación $X$ de clase $C^k$ (en el sentido C.D.): $\Lambda \to {\mathbb{R}}^n$, ampliación de $\xi$ y una aplicación $H \colon \Sigma \to {\mathbb{R}}^m$ de clase $C^k$ (en el sentido C.D.), ampliación de $\eta$. También en virtud de la definición 4.6.6 existe un abierto $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $\Omega \cap \overline{{\frak S}^{(n)}}= x(U \cap U^\prime)$ y una aplicación $\Phi \colon \Omega \to {\mathbb{R}}^m$, ampliación de $\widetilde \varphi$, diferenciable C.D. en $x(p)$.

$\Phi$ es a fortiori continua en el punto $x(p)$ y se verifica $\Phi (x(p)) = y(\varphi(p))$. Puesto que $\Sigma$ es una vecindad del punto $y(\varphi(p))$ en ${\mathbb{R}}^m$, por continuidad existe una vecindad abierta $\Delta$ de $x(p)$ en ${\mathbb{R}}^n$ contenida en $\Omega$ tal que
$\Phi (\Delta) \subset \Sigma$.

La aplicación $X$, por ser de clase $C^k$ es a fortiori continua en $\Lambda$. Luego $X^{-1} ( \Delta)$ es una vecindad abierta de $x^\prime (p)$ con respecto a $\Lambda$ y también con respecto a ${\mathbb{R}}^n$. En dicho abierto $X^{-1} ( \Delta)$, está bien definida la aplicación (restringida) $H \circ \Phi \circ X$ y es diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (p)$. La restricción de la aplicación $H \circ \Psi \circ X$ al abierto $\overline{{\frak S}^{(n)}} \cap X^{-1} (\Delta)$ de $\overline{{\frak S}^{(n)}}$ contenido en $x^\prime (U \cap U^\prime)$ es la misma que la restricción al propio $\overline{{\frak S}^{(n)}} \cap X^{-1} (\Delta)$ de la aplicación $\eta \circ \widetilde{\varphi} \circ \xi$. Así pues, $\eta \circ \widetilde{\varphi} \circ \xi$ es diferenciable en el punto $x^\prime (p)$ según la definición 4.6.5.

Finalmente de la relación (12) se ve que la aplicación $y^\prime \circ \varphi \circ {x^\prime}^{-1}$ es diferenciable en el punto $x^\prime (p)$ según la definición 4.6.5. $\quad\Box$

Teorema 5.7  

1. Sea $M$ una variedad con borde de clase $C^k$. La aplicación idéntica ${\cal I}_M$ es diferenciable en todo punto de $M$.
2. Sean $M$, $N$, $P$ variedades con bordes de clase $C^k$. Sea $\varphi \colon M \to N$, $\psi \colon N \to P$ aplicaciones tales que $\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in M$ y $\psi$ es diferenciable en el punto $\varphi (m) \in N$. La aplicación compuesta $\psi \circ \varphi \colon M \to P$ es diferenciable en $m$.

Demostración

1. Sea $M$ una variedad con borde de clase $C^k$. Sean $m$ un punto arbitrario de $M$ y $(U,x)$ un mapa admisible de $M$ en el punto $m$. La aplicación idéntica ${\cal I}_M$ leída en el mapa $(U,x)$ no es otra que ${\cal I}_{x(U)}$, la aplicación idéntica del abierto $x(U)$ de $\overline{{\frak S}^{(n)}}$. Es diferenciable según la definición 4.6.1 en el punto $x(m)$. Luego ${\cal I}_M$ es diferenciable en el punto $m \in M$.
2. Adoptemos las notaciones del enunciado b). Sean $(U,x)$ un mapa admisible de $M$ en el punto $m$, $(V, y)$ un mapa admisible de $N$ en el punto $\varphi(m)$ y $(W,z)$ un mapa admisible de $P$ en el punto $\psi ( \varphi (m))$. Suponemos que $\varphi (U) \subset V$ y $\psi (V) \subset W$. La aplicación $\varphi$ leída en los mapas $(U,x)$ y $(V, y)$ es:
   
   $$\widetilde{\varphi} = \colon y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$$
   
   
   La aplicación $\psi$ leída en los mapas $(V, y)$ y $(W,z)$ es:
   
   $$\widetilde{\psi} = \colon z \circ \psi \circ y^{-1} \colon y(V) \to z(W)$$
   
   
   Las hipótesis significan que $\widetilde \varphi$ es diferenciable según la definición 4.6.1 en el punto $x(m) \in x(U)$ y $\widetilde{\psi}$ es diferenciable según la definición 4.6.1 en el punto $y(\varphi(m)) \in y(V)$.

   De ahí se sigue, por el teorema 4.6.5 (``regla de la cadena para semiespacios cerrados''), que $\widetilde{\psi}\circ \widetilde{\varphi}$ es diferenciable en el punto $x(m)$. Pero la aplicación $\widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi} \colon z \circ (\psi \circ \varphi) \circ x^{-1}$ no es otra que $\psi\circ \varphi$ leída en los mapas $(U,x)$ y $(W,y)$.

   Luego $\psi \circ \varphi \colon M \to P$ es diferenciable en $m$. $\quad\Box$

Teorema 5.8   Sean $M$ una variedad con borde de clase $C^k$, de dimensión n y $p \in M$. Sean $\Omega$ una vecindad de $p$ en M y $f,\, g \colon \Omega \to {\mathbb{R}}$.

1. Si $f$, $g$ son funciones diferenciables en el punto $p$, también $\forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ la función $\alpha f + \beta g$ es diferenciable en $p$.
2. Si $f,\, g$ son funciones diferenciables en el punto $p$, también la función $fg$ es diferenciable en $p$.
3. Si $f$ es diferenciable en $p$, satisface $f(p) =0$ y $g$ es continua en $p$, entonces $fg$ es diferenciable en $p$.

Demostración
Sea $(U,x)$ un mapa admisible de $M$ en el punto $p$ tal que $U \subset \Omega$. En ${\mathbb{R}}$ consideramos el mapa admisible $({\mathbb{R}}, {\cal I}_{{\mathbb{R}}})$.

Las funciones $f,\, g$ leídas en dichos mapas son respectivamente

$$\widetilde{f} = f\circ x^{-1},\; \widetilde{g} = g\circ x^{-1} \colon x(U) \to {\mathbb{R}}$$

Empleando la definición 5.5.6 vemos que $f$ (resp. $g$) es diferenciable en $p$ si y sólo si $\widetilde f$ (resp. $\widetilde g$) es diferenciable en el punto $x(p)$. Vale $f(p) =0$ si y sólo si $\widetilde{f}(x(p)) =0$. También claramente $g$ es continua en $p$ si y sólo si $\widetilde g$ es continua en $x(p)$. Debemos, pues, probar para $\widetilde{f},\, \widetilde{g}$ definidas en el abierto $x(U)$ de $\overline{{\frak S}^{(n)}}$:

1. Si $\widetilde f$ y $\widetilde g$ son diferenciables en $x(p)$, también $\alpha \widetilde{f}+ \beta \widetilde{g}$ es diferenciable en $x(p)$.
2. Si $\widetilde f$ y $\widetilde g$ son diferenciables en el punto $x(p)$, también $\widetilde{f} \widetilde{g}$ es diferenciable en $x(p)$.
3. Si $\widetilde f$ es diferenciable en $x(p)$, cumple $\widetilde{f}(x(p))$ y $\widetilde g$ es continua en $x(p)$, la función $\widetilde{f} \widetilde{g}$ será diferenciable en $x(p)$.

Pero las afirmaciones a), b), c) siguen sin más del teorema 4.6.4. $\quad\Box$

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