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Aplicaciones de clase $C^j$

Sentamos análogamente a la definición 5.2.1.

Definición 5.9   Sean $M$, $N$ variedades con borde de clase $C^k$ y $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Una aplicación $\varphi \colon M \to N$ se dice APLICACIÓN DE CLASE , si para todo $m \in M$ existen mapas admisibles $(U,x)$ de $M$ en $m$, $(V, y)$ de $N$ en $\varphi(m)$ tales que $\varphi (U) \subset V$ y la aplicación $y \circ \varphi \circ x^{-1}$ (o sea, la ``aplicación $\varphi$ leída en los mapas considerados'') es de clase $C^j$ en el abierto $x(U)$ de $\overline{{\frak S}^n}$ según la definición 4.6.6.

Vamos a probar un teorema análogo al teorema 5.3.1 que garantiza la manejabilidad de esta definición.

Teorema 5.9   Sean $M$, $N$ variedades con borde de clase $C^k$ de sendas dimensiones $n$, $m$ y $\varphi \colon M \to N$ una aplicación de clase $C^j$. Para todo par $(U^\prime, x^\prime),\, (V^\prime, y^\prime)$ de mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$ tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$ la aplicación $y^\prime \circ\varphi \circ {x^{\prime}}^{-1} \colon x^\prime (U^\prime) \to y^\prime (V^\prime) \subset \overline{{\frak S}^n}$ es una aplicación de clase $C^j$ según la definición 4.6.6.

Demostración
Usaremos el teorema 4.6.10 (provisionalmente admitido). Esta parte de la demostración será una imitación estrecha (incluyendo las notaciones) a aquella del teorema 5.5.6.

Sean $(U^\prime, x^\prime),\, (V^\prime, y^\prime)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$ tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$. En virtud del teorema 4.70 (``carácter local'' de aplicaciones de clase $C^j$ en abiertos de $\overline{{\frak S}^n}$) será suficiente probar que $\forall \, p \in U^\prime$ existe una vecindad (en $\overline{{\frak S}^n}$) abierta $G$ del punto $x^\prime (p)$, contenida en $x^\prime (U^\prime)$ tal que la restricción de $y^\prime \circ \varphi \circ {x^\prime}^{-1}$ a $G$ es de clase $C^j$.

Sea, pues, $p$ un punto arbitrario de $U^\prime$. Por hipótesis existen mapas admisibles $(U,x)$ de $M$ en $p$, $(V, y)$ de $N$ en $\varphi(p)$ tales que la aplicación $\widetilde{\varphi} = \colon y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ es de clase $C^j$ (según la definición 4.6.6).

Restringimos las aplicaciones $x$ y $x^\prime$ a $U \cap U^\prime$, las aplicaciones $y,\, y^\prime$ a $V\cap V^\prime$ y $\widetilde \varphi$ a $x(U \cap U^\prime)$.

$\varphi$ leída en los mapas $(U^\prime , x^\prime)$, $(V^\prime, y^\prime)$ es la aplicación:

$$y^\prime \circ \varphi \circ {x^\prime}^{-1}= \colon \eta \circ \widetilde{\varphi} \circ \xi$$ (13)

donde:

$$\begin{eqnarray*} \xi= \colon x \circ {x^\prime}^{-1} &\colon& x^\prime (U \cap ... ... y(V \cap V^\prime) \to y^\prime \circ y^{-1} (V \cap V^\prime) \end{eqnarray*}$$

son los cambios de mapas. Por ser éstos isomorfismos $C^k$, existen un abierto $\Lambda$ de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $\Lambda \cap \overline{{\frak S}^{(n)}} = x^\prime (U \cap U^\prime)$, un abierto $\Sigma$ de ${\mathbb{R}}^m$ tal que $\Sigma \cap \overline{{\frak S}^{(m)}} = y(V \cap V^\prime)$, una aplicación $X$ de clase $C^k$ (según C.D.) $\colon \Lambda \to {\mathbb{R}}^n$, ampliación de $\xi$ y una aplicación $H \colon \Sigma \to {\mathbb{R}}^m$ de clase $C^k$ (también C.D.) amplicación de $\eta$. También por ser $\widetilde \varphi$ de clase $C^j$ (tanto en su dominio inicial $x(U)$, como restringida a $x(U \cap U^\prime)$) existe un abierto $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $\Omega \cap \overline{{\frak S}^{(n)}}= x(U \cap U^\prime)$ y una aplicación $\Phi \colon \Omega \to {\mathbb{R}}^m$, ampliación de $\widetilde{\varphi}$ y de clase $C^j$ (según C.D.).

Por continuidad de $\Phi$ el conjunto $\Delta = \colon \Phi^{-1}(\Sigma)$ es un abierto de ${\mathbb{R}}^n$ contenido en $\Omega$ y $x(p) \in \Delta$. A su vez $X^{-1} ( \Delta)$ es una vecindad abierta del punto $x^\prime (p)$ en ${\mathbb{R}}^n$ contenida en $\Lambda$.

En dicho abierto $X^{-1} ( \Delta)$ está bien definida la aplicación (restringida) $H \circ \Phi \circ X$ y es de clase $C^j$ (C.D.).

En la vecindad abierta $G = \colon \overline{{\frak S}^{(n)}} \cap X^{-1} (\Delta)$ del punto $x^\prime (p)$ con respecto a $\overline{{\frak S}^{(n)}}$ la aplicación $H \circ \Phi \circ X$ coincide con $\eta \circ \widetilde{\varphi} \circ \xi$.

Así pues, la restricción de $\eta \circ \widetilde{\varphi} \circ \xi$ a $G$ es de clase $C^j$ según la definición 4.6.6.

Por la relación (13) se ve que la aplicación $y^\prime \circ \varphi \circ {x^\prime}^{-1}$ es de clase $C^j$ en $G$ según la definición 4.6.6. $\quad\Box$

Teorema 5.10   (Carácter local de aplicaciones $C^j$ en variedades con borde) Sean $M$, $N$ variedades con bordes de clase $C^k$, de sendas dimensiones $n$, $m$ y $\varphi$ una aplicación $M \to N$. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$.

1. Si $\varphi$ es de clase $C^j$ en $M$, la restricción de $\varphi$ a todo abierto $W$ de $M$ es de clase $C^j$.
2. Si $\left( U_i \right)_{i \in I}$ es un recubrimiento abierto de $M$ y $\forall \, i \in I$ la restricción de $\varphi$ a $U_i$ es de clase $C^j$, $\varphi$ es de clase $C^j$.

Demostración

1. Sea $\varphi \colon M \to N$ una aplicación de clase $C^j$. Sea $W$ un abierto de $M$, $(U,x)$ un mapa admisible de la subvariedad abierta $W$ de $M$ y $(V, y)$ un mapa admisible de $N$ tales que $\varphi (U) \subset V$.

   $(U,x)$ es también un mapa admisible de $M$. Luego por el teorema 5.5.9 $y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V) \subset \overline{{\frak S}^{(m)}}$ es una aplicación de clase $C^j$ (según la definición 4.32). Esto prueba que la restricción de $\varphi$ al abierto $W$ es una aplicación de clase $C^j$.

2. Sea $\left( U_i \right)_{i \in I}$ un recubrimiento abierto de $M$. Suponemos que $\forall \, i \in I$ la restricción $\varphi_i$ de $\varphi$ a $U_i$ es de clase $C^j$.

   Sean $(U,x),\, (V,y)$ mapas admisibles de sendas variedades $M,\, N$ tales que $\varphi (U) \subset V$.

   Para cada índice $i \in I$, sea $x_i$ la restricción de la aplicación $x$ al abierto $U \cap U_i$. $(U_i \cap U, x_i)$ es un mapa admisible de la subvariedad abierta $U_i$ de $M$ y $\varphi (U_i \cap U ) \subset V$. La hipótesis implica, pues, que $\forall \, i \in I$:
   

   $$y \circ \varphi_i \circ x_i^{-1} \colon x(U \cap U_i) \to y(V)$$ (14)

   
   
   es una aplicación de clase $C^j$ (según la definición 4.6.6).

   Ahora bien, la familia $\left( x(U \cap U_i ) \right)_{i \in I}$ es un recubrimiento abierto del conjunto abierto $x(U)$ de $\overline{{\frak S}^{(n)}}$ y $\forall \, i \in I$, la aplicación
   

   $$y\circ \varphi_i \circ x_i^{-1} \colon x(U \cap U_i) \to y(V) \subset \overline{{\frak S}^{(m)}}$$
   
   
   es la restricción a $x(U \cap U_i)$ de la aplicación $y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$.

   Por el teorema 4.6.11 se sigue, pues, de (14), que $y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ es una aplicación de clase $C^j$.

   De ahí, por el teorema 5.5.9, $\varphi$ es de clase $C^j$. $\quad\Box$

Teorema 5.11   Sean $M$, $N$, $P$ variedades con bordes de clase $C^k$. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Si $\varphi \colon M \to N$ y $\psi \colon N \to P$ son aplicaciones de clase $C^j$, también la aplicación $\psi \circ \varphi \colon M \to P$ es de clase $C^j$.

Demostración
Sean $(U,x), \, (V,y),\, (W,z)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$, $P$ tales que $\varphi (U) \subset V$ y $\psi (V) \subset W$. La aplicación $\varphi$ leída en los mapas $(U,x),\, (V,y)$ es:

$$\widetilde{\varphi} = \colon y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$$

La aplicación $\psi$ leída en los mapas $(V,y),\, (W,z)$ es:

$$\widetilde{\psi} = \colon z \circ \psi \circ y^{-1} \colon y(V) \to z(W)$$

La hipótesis implica que las aplicaciones $\widetilde \varphi$ y $\widetilde \psi$ son de clase $C^j$ según la definición 4.6.6. El teorema 4.6.12 entraña que es también de clase $C^j$ la aplicación compuesta:

$$\widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi} = z \circ (\psi \circ \varphi ) \circ x^{-1} \colon x(U) \to z(W)$$

Pero ésta no es otra que la aplicación $\psi\circ \varphi$ leída en los mapas $(U,x)$, $(W,z)$. $\psi\circ \varphi$ es, pues, $C^j$. $\quad\Box$
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