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Funciones locales en un punto de un espacio afín normado

Definición 3.2   Sea $m$ un punto de un espacio afín normado $\cal E$.

1. Se llama FUNCIÓN LOCAL EN EL PUNTO del espacio $\cal E$ una aplicación $f \colon V \to {\mathbb{R}}$, donde $V$ es una vecindad abierta de m en $\cal E$ que depende de la función $f$. Designaremos por ${\cal F}(m)$ el conjunto de todas las funciones locales en el punto $m$.
2. Sean $f \colon U \to {\mathbb{R}},\,g\colon V \to {\mathbb{R}}$ funciones locales en m y sean $\alpha, \beta \in {\mathbb{R}}$.
   1. Definimos la función local $\alpha f + \beta g \colon U\cap V \to {\mathbb{R}}$ por
      
      $$\fbox{${\displaystyle (\alpha f + \beta g) (p) = \colon \alpha f(p)+ \beta g(p) \quad \forall \, p \in U \cap V}$}$$
      
      

   2. Definimos la función local $fg \colon U \cap V \to {\mathbb{R}}$ por:
      
      $$\fbox{${\displaystyle (f g) (p) = \colon f(p)g(p) \quad \forall \, p \in U \cap V}$}$$
      
      

3. Designamos por ${\cal C}(m)$ el subconjunto de ${\cal F}(m)$ constituido por las funciones locales en $m$ continuas en el punto $m$.
4. Designamos por ${\cal D}(m)$ el subconjunto de ${\cal F}(m)$ constituido por las funciones locales en $m$ diferenciables en el punto $m$.

Advertencia
Las aplicaciones i) y ii) no hacen de ${\cal F}(m)$ un álgebra y ni siquiera un espacio vectorial sobre ${\mathbb{R}}$.

Se ve, por ejemplo, inmediatamente, que la única función $\zeta \in {\cal F}(m)$ la cual actúa como cero en la adición, es decir, cumple $\zeta + f =f \;\forall\, f \in {\cal F}(m)$ es la función ${\cal E} \to {\mathbb{R}}$ de valor $0$ en $\cal E$.

Si $f\in {\cal F}(m)$ tiene dominio $U \ne \cal E$, el dominio de $f+g \;\forall \, g \in {\cal F}(m)$ es un subconjunto de $U$, luego no existe $g\in {\cal F}(m)$ tal que $f+g = \zeta$.

Se puede también notar que si $\zeta_U$ es la función en ${\cal F}(m)$ de dominio $U$ y de valor cero en él, se tiene para nuestra $f$: $\zeta_U + f=f$ sin que sea $\zeta_U =\zeta$.

Teorema 3.7  

1. Vale
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\cal D}(m) \subset {\cal C}(m) \subset {\cal F}(m)}$}$$
   
   

2. El conjunto ${\cal C}(m)$ es cerrado con respecto a las operaciones i) y ii) de las definiciones 4.2.4. Es decir: si $f,\, g \in{\cal C} (m)$ y $\alpha, \, \beta \in {\mathbb{R}}$ valdrá también
   
   $$\alpha f + \beta g \in{\cal C}(m) \quad \mbox{y} \quad fg\in {\cal C}(m)$$
   
   

3. El conjunto ${\cal D}(m)$ es cerrado con respecto a las operaciones i) y ii).
4. Si $f\in {\cal D}(m)$ y $f(m) =0$ y además $g \in {\cal C}(m)$ se cumple $fg \in {\cal D}(m)$.

Demostración
La afirmación a) se sigue del teorema 4.3.2. La afirmación b) la daremos aquí por conocida. Las simples demostraciones, si éste no las tiene presentes, las dejamos al lector.

La afirmación c) sigue de los incisos a) y b) del teorema 4.3.5. La afirmación d) sigue del inciso c) del mismo teorema 4.3.5. $\quad\Box$

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