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Diferenciales parciales

Sean ${\cal E}_1,{\cal E}_2$ espacios afines normados y $(E_1,{\cal N}_1)$, $(E_2,{\cal N}_2)$ sus respectivos espacios vectoriales asociados de sendas normas ${\cal N}_1,\, {\cal N}_2$. Sea $\cal N$ la norma inducida sobre el espacio vectorial producto $E_1 \times E_2$. Sean $a= \colon (a_1,a_2)$ un punto de ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ y $\Omega$ una vecindad abierta de $a$ en ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$.

Puesto que ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ es el producto topológico de los espacios ${\cal E}_1$, ${\cal E}_2$, existen vecindades abiertas $U_1$ de $a_1$ en ${\cal E}_1$ y $U_2$ de $a_2$ en ${\cal E}_2$ tales que $U_1 \times U_2 \subset \Omega$.

Consideramos una aplicación $\varphi \colon \Omega \to \cal F$ donde $\cal F$ es un espacio afín normado, de espacio vectorial asociado $F$.

Definimos las APLICACIONES PARCIALES $\varphi_{a_1} \colon U_2 \to \cal F$ y $\varphi^{a_2} \colon U_1 \to \cal F$ por las fórmulas:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} \varphi_{a_1} (x_2) ... ...n& \varphi(x_1,a_2) \quad \forall \, x_1 \in U_1 \end{array}}$}$$

Si la aplicación $\varphi^{a_2}$ es diferenciable en el punto $a_1 \in U_1$ ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle d_1 \varphi(a) = \colon d \varphi^{a_2} (a_1) \in {\cal H}\mbox{\it om}(E_1,F)}$}$$

Si la aplicación $\varphi_{a_1}$ es diferenciable en el punto $a_2 \in U_2$ ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle d_2 \varphi(a) = \colon d \varphi_{a_1} (a_2) \in {\cal H}\mbox{\it om}(E_2,F)}$}$$

Las aplicaciones lineales continuas $d_1 \varphi (a), \, d_2 \varphi (a)$, si existen, se llaman las DIFERENCIALES PARCIALES DE LA APLICACIÓN EN EL PUNTO .

Teorema 4.8   Si $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$, existen las diferenciales parciales $d_1 \varphi(a)$ y $d_2 \varphi(a)$. También $\forall \, ({\vec u}_1, {\vec u}_2) \in E_1 \times E_2$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle d \varphi(a) ({\vec u}_1, {\vec u}_2) = d_1 \varphi(a) {\vec u}_1 + d_2 \varphi(a){\vec u}_2}$}$$

Demostración
Sean $\lambda_1 \colon U_1 \to {\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ y $\lambda_2 \colon U_2 \to {\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ las aplicaciones:

$$\begin{eqnarray*} \lambda_1 (x_1) &=& (x_1,a_2) \quad \forall \, x_1 \in U_1 \\ \lambda_2 (x_2) &=& (a_1,x_2) \quad \forall \, x_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$$

Se verifica:

$$\varphi^{a_2} = \varphi \circ \lambda_1$$ (6)

$$\varphi_{a_1} = \varphi \circ \lambda_2$$ (7)

Sean $\sigma_1 \colon E_1 \to E_1 \times E_2$ y $\sigma_2 \colon E_2 \to E_1 \times E_2$ las aplicaciones lineales:

$$\sigma_1({\vec u}_1) = ({\vec u}_1,0),\ \ \sigma_2({\vec u}_2) = (0,{\vec u}_2).$$

Si $x_1 + {\vec u}_1 \in U_1$ tenemos $\lambda_1 (x_1 + {\vec u}_1) = (x_1 + {\vec u}_1, a_2) = (x_1, a_2) + ({\vec u}_1,0)$ o sea, $\lambda_1 (x_1 +{\vec u}_1) = \lambda_1(x_1) + \sigma_1({\vec u}_1)$. Asimismo, si $x_2+ {\vec u}_2 \in U_2$, entonces $\lambda_2 (x_2 +{\vec u}_2) = \lambda_2(x_2) + \sigma_2({\vec u}_2)$.

$\lambda_1$ es, pues, restricción a $U_1$ de una aplicación afín de parte lineal $\sigma_1$ y $\lambda_2$ es restricción a $U_2$ de una aplicación afín de parte lineal $\sigma_2$.

Puesto que:

$$\begin{eqnarray*} \forall \, {\vec u}_1 \in E_1 &:& {\cal N}(\sigma_1({\vec u}_1... ..._2)) = {\cal N}(0, {\vec u}_2) = 1 \cdot {\cal N}_2 ({\vec u}_2) \end{eqnarray*}$$

las aplicaciones lineales $\sigma_1$, $\sigma_2$ son continuas.

Del teorema 4.3.4 se sigue ahora que $\lambda_1$ es diferenciable en $U_1$ y $\lambda_2$ en $U_2$ siendo:

$$d\lambda_1(x_1) = \sigma_1 \quad \forall \, x_1 \in U_1 \quad... ...} \quad d\lambda_2(x_2) = \sigma_2 \quad \forall \, x_2 \in U_2$$

Se sigue de (6) y (7) y de la regla de la cadena (teorema 4.4.4) que $\varphi^{a_2}$ es diferenciable en $a_1$, o sea, existe $d_1 \varphi(a)$ y $\varphi_{a_1}$ es diferenciable en $a_2$ o sea existe $d_2 \varphi(a)$, siendo por cierto:

$$\begin{eqnarray*} d_1 \varphi(a) &=& d\varphi^{a_2} (a_1) \ = \ d \varphi(a) \ci... ...\varphi(a) \circ d \lambda_2 (a_2) = d\varphi(a) \circ \sigma_2 \end{eqnarray*}$$

De ahí :

$$\begin{eqnarray*} d_1\varphi(a) {\vec u}_1 &=& d\varphi(a) ({\vec u}_1,0) \quad ... ... d\varphi(a) (0,{\vec u}_2) \quad \forall \, {\vec u}_2 \in E_2 \end{eqnarray*}$$

Finalmente, sumando las dos últimas relaciones:

$$d_1 \varphi(a) {\vec u}_1 + d_2 \varphi(a) {\vec u}_2 = d\varphi(a) ({\vec u}_1, {\vec u}_2)$$

$\quad\Box$

Advertencia
El recíproco de la última proposición es falso: la existencia de las dos diferenciales parciales $d_1 \varphi(a)$, $d_2 \varphi(a)$ no implica la diferenciabilidad de la aplicación $\varphi$ en a.

Teorema 4.9   Sean $E$, $F$, $G$ espacios vectoriales normados y sea también $\Phi \colon E \times F \to G$ una aplicación bilineal continua. $\Phi$ es diferenciable en todo par $(\vec p , \vec q ) \in E \times F$ y vale: $\forall \, (\vec p, \vec q) \in E \times F,\, \forall \, (\vec u, \vec v) \in E \times F$

$$\fbox{${\displaystyle d \Phi(\vec p, \vec q) (\vec u, \vec v) = \Phi (\vec u, \vec q) + \Phi (\vec p, \vec v)}$}$$

Para $\vec p$ y $\vec u \in E$ y para $\vec q,\, \vec v \in F$ escribamos:

$$\Phi( \vec p + \vec u, \vec q+ \vec v) = \Phi( \vec p , \vec... ...vec u, \vec q) + \Phi(\vec p, \vec v) + \Phi (\vec u, \vec v)$$ (8)

La aplicación $(\vec u, \vec v) \mapsto \Phi(\vec u, \vec q) + \Phi(\vec p, \vec v)$ es una aplicación lineal continua de $E \times F$ en $G$. También, por la ``generalización'' del teorema 4.2.5,(enunciado después del teorema 4.2.6) existe $a\ge 0$ tal que

$$\Vert \Phi (\vec u, \vec v) \Vert \le a \Vert \vec u \Vert \... ... \Vert\quad \forall \, \vec u \in E,\, \forall \,\vec v \in F$$ (9)

De (9) se sigue a fortiori:

$$\Vert \Phi (\vec u, \vec v) \Vert \le a \left( \mbox{\rm M\'a... ...t \vec v \Vert \} \right)^2 = a \Vert (\vec u, \vec v ) \Vert^2$$

de donde:

$$\lim_{(\vec u, \vec v) \to 0} {\Phi (\vec u, \vec v) \over \Vert (\vec u, \vec v) \Vert }=0$$

Dado esto por sentado, la fórmula (8) prueba el teorema. $\quad\Box$

Nota
Con las notaciones antes del teorema 4.4.8, tenemos:

$$\begin{eqnarray*} \Phi^{\vec q} (\vec u) &=& \Phi (\vec u, \vec q) \quad \forall... ...( \vec v) &=& \Phi(\vec p, \vec v) \quad \forall \, \vec v \in F \end{eqnarray*}$$

La aplicación $\Phi^{\vec q} \colon E \to G$ es lineal continua. Luego, por el corolario del teorema 4.3.4:

$$d_1 \Phi(\vec p, \vec q) \vec u = d \Phi^{\vec q} (\vec p) \vec u = \Phi(\vec u, \vec q)$$

Asimismo:

$$d_2 \Phi( \vec p, \vec q) \vec v = \Phi (\vec p, \vec v)$$

La fórmula en el teorema 4.4.9 es, pues, un caso particular de aquélla en el teorema 4.4.8. Pero no pudimos aplicar el teorema 4.4.8 sin saber de antemano que $\Phi$ es diferenciable en el punto $(\vec p, \vec q)$.

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