Teorema de Gerschgorin, condición mecánica y forma final de la relación de dispersión.

Ahora analizamos una forma, para encontrar el rango de eigenvalores de una matriz y una condición mecánica para el modelo empleado. Supongamos que $M$ es una matriz arbitraria y construyamos el problema de eigenvalores siguiente en forma matricial, esto es:

$$\left[\begin{array}{cccc} & & & \\ & & & \\ a_{i1} & a_{i2}... ...egin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]$$

nos interesa una componente, que explícitamente será:

$$\sum_{i=1}^n a_{ij} x_j =\lambda x_i$$

Pasando al lado derecho el término $a_{ii} x_i$ resulta:

$$\sum_{i\neq j}^{n-1} a_{ij} x_j = (\lambda -a_{ii}) x_i$$

Como siempre existe por lo menos un eigenvector distinto de cero supongamos que es el $x_i$, por lo tanto la ecuación anterior resulta:

$$\lambda -a_{ii} =\sum_{j\neq i}^{n-1} a_{ij} \frac{x_j}{x_i}$$

Supongamos además, que la componente $i$-ésima de este eigenvector tiene el módulo máximo, llamémosla $x_t$ por lo tanto resulta, tomando además el valor absoluto en ambos miembros que:

$$\vert\lambda -a_{ii}\vert \leq \sum_{j\neq i}^{n-1} \vert a_{ij}\vert \vert \frac {x_j} {x_t} \vert$$

Como $x_t \geq x_j$ es posible suponer que $\left\vert\frac{x_j}{x_t}\right\vert \simeq 1$ por lo tanto resulta finalmente que:

$$\vert\lambda -a_{ii}\vert \leq \sum_{j\neq i}^{n-1} \vert a_{ij}\vert$$ (4.3)

Este resultado es conocido como ``teorema de Gerschgorin'' (Ref. [12]) que nos dice: Que en el plano complejo cada eigenvalor de la matriz de elementos complejos $M$, se encuentra localizado en al menos uno de los círculos con centro $a_{ii}$ y radio $\sum_{j\neq i}^{n-1} \vert a_{ij}\vert$ (que es la suma de los elementos de un renglón).

Como no sabemos cual de las componentes es la máxima, entonces se construyen los discos para cada una de las componentes y si no es el disco que interesa, no lo tomamos en cuenta, pero si lo es, entonces va a incluir el eigenvalor en cuestión; aunque es posible que al cambiar el eigenvalor cambie el elemento donde se alcanza el máximo, pero no importa, ya que se tienen todos los discos y en algunos de ellos se encuentra el eigenvalor.

Por lo tanto lo anterior nos da una información de los eigenvalores en particular, en el caso que estamos tratando, nos dice que se tienen un círculo con centro $a_o$ y radio $2a_1 +2a_2$. Naturalmente que para nuestro problema únicamente nos interesa la línea real, ya que se trata de una matriz hermitiana con eigenvalores reales, o sea que el intervalo de eigenvalores para el modelo que estamos analizando es:

Ahora en el caso de vibraciones mecánicas, se tiene la siguiente restricción $a_0 = -2a_1 -2a_2$. Esto quiere decir que la suma de los elementos a través de un renglón tiene que ser cero. Esta condición es debida a que un desplazamiento, en una dirección produce una fuerza la cual produce un desplazamiento en otra dirección y debido a que el efecto de estas fuerzas es producido por resortes que se encuentran a ambos lados de las partículas, entonces son los resortes los que dan lugar a las constantes que intervienen en la condición mecánica. Esta condición mecánica se puede visualizar mejor, por medio de un diagrama de fuerzas, esto es

Como vemos en este diagrama de fuerzas, si movemos una partícula desde su posición de equilibrio, el efecto de la interacción en ambos lados debe ser el mismo debido a la simetría de la cadena, por lo tanto va a interaccionar con las partículas en ambos lados y es precisamente la constante del resorte la que influye en el equilibrio de fuerzas.

La restricción es gráficamente razonable de postular, únicamente para nuestro caso que es un sistema vibracional, ya que en otros sistemas no es válida, como por ejemplo en problemas de mecánica cuántica, esto es sistema de electrones $\pi$.

Además si no fuera físicamente razonable postular que $a_0 +2a_1 +2a_2 =0$ y la empleáramos, el resultado sería únicamente una traslación de todos los eigenvalores, como lo podemos ver del siguiente hecho.

Tenemos la restricción en la forma:

$$a_0 =-2\;(a_1 +a_2)$$

y del teorema de Gershgorin dado por la relación

$$\vert\lambda -a_0\vert \leq 2\; \vert(a_1 +a_2)\vert$$ (4.4)

lo cual nos permite escribir esto como

$$-2\; (a_1 +a_2) \leq \lambda -a_0 \leq 2\; (a_1 +a_2)$$

Sustituyendo el valor de $a_0$ resulta finalmente:

$$-4\; (a_1 +a_2) \leq \lambda \leq 0$$ (4.5)

Analizando este resultado, vemos una justificación más de que las frecuencias resultan imaginarias, con la posibilidad de que sean cero, pero nunca tendremos el caso $\lambda >0$. Otro resultado que nos da es la justificación del denominador de la relación (4.2).

Por lo tanto de (4.5) y (4.2) resulta:

$$0 \leq \xi \leq 1$$

Al menos en el rango en que $a_1 >0$ y $a_2 >0$ ya que debido a la estabilidad de las redes, puede suceder que $a_2 <0$ o que $a_1$ sea negativa también y puede darse el caso en que estas dos constantes sean iguales (como se verá al analizar modelos especiales), por lo tanto es posible obtener interacciones negativas.

Ahora lo que nos interesa es calcular los eigenvalores de la matriz $T$ en términos de los parámetros (2.13), esto es $\alpha ,\beta ,\gamma$ y $\delta$ por lo tanto seguimos tratando una cadena homogénea, en este caso la ecuación característica de $T$, como vimos anteriormente (Ec. 2.21) es

$$\mu^4 -\gamma\mu^3 -\beta\mu^2 -\gamma\mu +1 =0$$ (4.6)

también vimos que las raíces ocurren en parejas recíprocas, supongamos que son: $\varepsilon , 1/\varepsilon ,\xi ,1/\xi$ por lo tanto podemos definir el siguiente arreglo:

$$\begin{eqnarray*} \varepsilon +\frac{1}{\varepsilon } & = & a \\ \xi +\frac{1}{\xi} & = & b \end{eqnarray*}$$

y debido precisamente a la forma de la ecuación característica, o lo que es lo mismo de la matriz de transferencia, es posible escribir el polinomio característico como

$$x(\varepsilon ,\xi) =(\mu -\varepsilon )(\mu -1/\varepsilon )(\mu -\xi)(\mu -1/\xi) = [\mu^2 -\mu a+1] [\mu^2 -\mu b+1]$$ (4.7)

factorizando y reagrupando términos resulta finalmente que

$$x(\varepsilon ,\xi) =\mu^4 -\mu^3 (a+b) +\mu^2 (ab+2) -\mu(a+b) +1 \eqno{(4.7')}$$

comparando esta ecuación con (4.6) tenemos

$$\gamma = a+b$$ (4.8)

$$\beta = -(2+ab)$$ (4.9)

Resolviendo este sistema de ecuaciones resulta:

$$a=\frac{\gamma}{2}\pm \sqrt{(\gamma /2)^2 +2+\beta }$$ (4.10)

Además estamos interesados en regiones en que ``$a$'' es complejo o real puro (si es real puro, entonces debe ser mayor o menor que uno en valor absoluto), así como analizar el efecto de si las mismas raíces son puramente imaginarias o puramente reales.

La condición para que sea real puro es que el descriminante de la ecuación sea cero, esto es:

$$(\gamma /2)^2 +2+\beta = 0$$

Sustituyendo el valor de los parámetros $\gamma$ y $\beta$ dados por (2.13) resulta

$$(-\frac{a_1}{2a_2})^2 +2+\frac{\lambda -a_0}{a_2} =0$$

y utilizando la condición mecánica, esto es

$$a_0 = -2a_1 -2a_2$$

resulta finalmente:

$$\frac{\lambda}{a_2} +(\frac{a_1}{2a_2} +2)^2 = 0$$ (4.11)

Que es exactamente la misma relación que se obtiene al considerar únicamente la condición mecánica, después de ciertos artificios matemáticos.

Otro resultado importante que se puede deducir de las ecuaciones anteriores, es la relación entre las constantes de interacción a primeros y segundos vecinos, esto lo podemos ver de la siguiente manera.

Usando el resultado de que

$$-4(a_1 +a_2) <\lambda <a_0$$

despejando $\lambda$ de (4.11) y sustituyéndola en la desigualdad anterior.

$$-4(a_1 +a_2) \leq -a_2 (a_1 /2 a_2 +2)$$

factorizando y agrupando términos resulta

$$-\frac{2a_1}{a_2} +(\frac{a_1}{2a_2})^2 = \frac{a_1}{a_2} (\frac{a_1}{4a_2} -2) \leq 0$$

Analizando esta última desigualdad vemos que

$$\frac{a_1^2}{4a_2^2} \leq \frac{2a_1}{a_2}$$

lo cual quiere decir que $a_1 <8a_2$ en cuyo caso, hay raíces complejas y por lo tanto habrá factores de fase compleja; para $a_1 \geq 8a_2$ existirán amortiguaciones puras, o soluciones puramente oscilatorias, en el valor extremo de $\lambda$; el caso en que $a_1 = 8a_2$ es una razón crítica.

Anteriormente mencionamos como una relación de dispersión puede ser deducida, a partir de la ecuación característica, la obtención es directa como podemos apreciarlo de la siguiente forma: Usando la ecuación (4.6), junto con los parámetros definidos en (2.13) resulta:

$$\frac{a_2\mu^4 +a_1\mu^3 +a_1\mu +a_2}{\mu^2} = a_0 -\lambda$$

despejando $\lambda$ resulta:

$$\lambda = a_0 -a_1(\mu+1/\mu) -a_2(\mu^2 +1/\mu^2)$$ (4.12)

Que es la relación de dispersión, ya que nos da una relación de frecuencia espacial, con la temporal.

La gráfica de esta relación de dispersión es la siguiente:

Otra relación de dispersión que nos puede dar bastante información se obtiene de la siguiente forma.

Pongamos los elementos de la matriz de transferencia $\gamma$ y $\beta$ en función de $Y$ y de $\xi$, esto es, de (4.1) y (4.2) resulta:

$$\gamma = -\frac{a_1}{a_2} =-4Y = a+b$$ (4.13)

$$\beta = \frac{\lambda -a_0}{a_2} = 2(1-2\xi)(1+4Y)$$ (4.14)

Para solucionar este sistema de ecuaciones, despejamos $b$ de (4.3) y sustituyámoslo en (4.14) resultando

$$a^2 +4aY -[2+2(1-2\xi)(1+4\xi)] = 0$$

Por lo tanto las soluciones para ``$a$'' están dadas por

$$a=-2Y\pm 2\sqrt{(Y+1)^2 - \;\xi (1+4Y)}$$ (4.15)

Esta ecuación es una relación de dispersión porque relaciona a ``$a$'' como función de $\varepsilon$ y $\lambda$ y de las constantes del modelo, además se tienen dos alternativas para tratar esta ecuación; una es solucionar $\xi =\xi(\mu)$ ó $\mu =\mu(\xi)$ dependiendo de la conveniencia.

Es conveniente poner la ecuación (4.15) en una forma más explícita anteriormente definimos

$$a=\varepsilon +\frac{1}{\varepsilon } \mbox{\hspace{.2in} y \hspace{.2in}} \phi =\ln\varepsilon$$

por lo tanto

$$a=2\cosh\phi .$$

Por lo tanto la ecuación (4.15) queda finalmente como:

$$\cosh\phi =-Y\pm \sqrt{(Y+1)^2 -\xi(1+4Y)}$$ (4.16)

Que es la relación de dispersión para el interior de cualquier cadena por lo tanto es conveniente analizarla en forma detallada.

Lo que interesa en principio es analizar cuándo la expresión es real o compleja, ya que si $\cosh\phi$ es complejo necesariamente que $\phi$ lo es también.

Por lo tanto la frontera entre real y complejo es cuando el discriminante de (4.16) es igual a cero, esto es

$$(Y+1)^2 -\xi (1+4Y) =0$$

despejando $\xi$ resulta

$$\xi =\frac{(Y+1)^2}{(1+4Y)}$$ (4.17)

Esta ecuación la podemos graficar, ya que $\xi =\xi(Y)$ por lo tanto es necesario analizarla en la forma siguiente: $\xi$ tiene un polo en $Y = -1/4$.

Cuando $Y\rightarrow\infty$ entonces $\xi\simeq\frac{1}{4}$ y si $\xi =0$ entonces $(Y+1)^2 =0 \;\rightarrow\; Y=-1$.

Para obtener un extremo calculemos la derivada, esto es

$$\frac{d\xi}{dY} =\frac{1}{(1+4Y^2)} [2(Y+1)(1+4Y) -4(Y+1)^2]$$

Como nos interesa un extremo, hagamos $\frac{d\xi}{dY}=0$, entonces

$$(Y+1) [(1+4Y) -2(Y+1)] =0$$

Por lo tanto en $Y= -1\rightarrow (-1+2Y)=0 \rightarrow Y=1/2$. Evaluando $\xi =\xi(Y)$ en los puntos $Y =-1;\; y =1/2$ resulta

$$\begin{eqnarray*} \xi(-1) & = & 0 \\ \xi(1/2) & = & 9/12 = 3/4 \end{eqnarray*}$$

Y es fácil comprobar que ocurre un mínimo en $(1/2 ,3/4)$. También es posible ver cuando la expresión es positiva o negativa si $Y\rightarrow 0$ y $\xi\rightarrow\infty$ entonces $\xi\gg Y$ lo cual nos indica que la expresión es negativa.

Además, cuando $\xi =1$ entonces

$$Y^2 +2Y +1 = 1+4Y$$

$$Y^2 = 2Y \rightarrow \left\{\begin{array}{c} Y=0 \\ Y=2 \end{array}\right.$$

Con todos estos datos podemos construir la gráfica de la frontera entre la parte real y compleja $\xi$, gráfica IV-II.

Como se puede ver, por combinaciones de $\xi$ y $Y$ en la región compleja $\cosh\phi$ es complejo, lo cual quiere decir que $\phi$ es complejo, es decir, la frecuencia en esta región vamos a ver una onda oscilatoria con factor exponencial.

Analicemos las diferentes regiones correspondientes a los distintos valores que puede tomar el parámetro $C$ definido como

$$\cosh\phi =C$$ (4.18)

Caso Real. real
Caso Imaginario
Caso en que existe un cambio de fase. $\phi =\alpha +i\pi \;.\!\cdot\! .\; \alpha$ es real, entonces resulta

$$C = -\cosh\alpha$$

Ahora estamos interesados en contornos en los que $C$ pasa, por estos puntos, para lo cual es necesario hacer algunas manipulaciones algebraícas del $\cosh\alpha =C$, en la forma siguiente: De (4.16) tenemos que:

$$\begin{eqnarray*} C & = & -Y\pm \sqrt{(Y+1)^2 -\xi(1+4Y)} \\ (C+Y)^2 & = & (Y+1)^2 -\xi(1+4Y) \end{eqnarray*}$$

Despejando $\xi$ resulta

$$\xi =(1-C)\frac{1+C+2Y}{1+4Y}$$ (4.19)

Que es finalmente la relación de dispersión para el interior de cualquier cadena, que nos interesa graficar e interpretar físicamente, además graficaremos $\xi =\xi(Y)$ ya que se desean encontrar contornos con $C$ fijo.

Analizando la ecuación (4.19), vemos que es necesario tomar valores seleccionados de $C$ para poder interpretar la gráfica, por lo tanto, si hacemos $C=1$, ó $C=-1$ obtendremos las fronteras de las curvas que separan las partes real e imaginaria pura, esto es:

Si $C=1$ entonces:

$$(1+4Y)\xi = 0 \;\;\rightarrow\;\;\xi=0 \mbox{\ \ \'o \ \ } Y=-\frac{1}{4}$$

Si $C=-1$ resulta:

$$\xi =\frac{4Y}{1+4Y} \;\rightarrow\; \simeq 1$$ (4.20)

Debido a que $0\leq\xi\leq 1$, entonces puede ser que la $\xi$ dada por (4.19) se escape de los límites, por lo tanto es necesario analizar su comportamiento gráficamente. De (4.19) resulta:

Si $Y\rightarrow 0$ entonces $\xi\rightarrow 1$

Si $Y = 0$ entonces $\xi =0$

En $Y =-\frac{1}{4}$ resulta que $\xi =\infty$ que es un polo.

Por lo tanto con estos elementos podemos graficar la ecuación (4.19) esto es:

Prosiguiendo el análisis de la ecuación (4.18). Si $C = 0$ entonces

$$\xi =\frac{1+2Y}{1+4Y} \;\rightarrow\;\simeq \frac{1}{2}$$

Cuando $C>0$, entonces como $0\leq\xi\leq 1$ necesariamente $Y>0$, pero cuando $Y<0$, las condiciones varían ligeramente.

En $C=-\frac{1}{2}$ existe una línea crítica ya que

$$\xi =(1+1/2)\frac{1-1/2 +2Y}{1+4Y} = .75$$

En $Y = 0$ la relación entre $\xi$ y $C$ es:

$$\xi =1-C^2 \mbox{ ,\ \ por lo tanto\ \ } C =\pm \sqrt{1+\xi}$$

lo cual quiere decir que hay siempre dos valores de $C$ para cualquier $\xi$ que esté en el intervalo $0\leq\xi\leq 1$, tal que $C$ está en el intervalo $-1\leq C\leq 1$. En otra región, por supuesto que también dos valores reales para $C$, pero necesariamente ambas estarán situadas en el intervalo (esto es $-1\rightarrow 1$).

Por lo tanto, como las gráficas (IV.II) y (IV.III) pertenecen a la misma ecuación, deducidas únicamente con análisis diferentes, entonces podemos superponerlas y formar una sola, juntamente con los resultados del análisis de dicha ecuación (4.18), esto es

Analizando esta gráfica, junto con las ecuaciones (4.18) y (2.20) resultan las siguientes regiones características:

Región I.

Se encuentra en $-1\leq C\leq 1$, esta es una región en donde el número de onda ($\mu$) es un número complejo con parte real cero, en este caso el movimiento de la cadena es ondulatorio, ya que resulta una función senosoidal o cosenoidal.

Región II.

Está limitada por dos curvas asintóticas, descritas anteriormente (gráfica IV.II) correspondiente a la ecuación $\xi(Y+1)^2 /(1+4Y)$. Es una región de $\mu$ complejo, por lo tanto tenemos una onda modulada por un factor exponencial que depende de la parte real de $\phi$, este factor no es otra cosa que la amplitud, que nos va a modular las funciones seno o coseno.

Región III.

Esta región corresponde a valores de $C>1$, en esta región el número de onda es real positivo o negativo, por lo tanto el movimiento de las partículas en la cadena estará descrito por una exponencial creciente o decreciente dependiendo de que $\phi >1$ ó $\phi<1$.

Región IV.

Se encuentra localizada en donde $C$ toma valores reales negativos (en la gráfica corresponde a $-2.0\leq C\leq -0.5$) este caso se cumple cuando $\phi =\alpha +i\pi$ dando como resultado que $\mu =-e^{\alpha}$ por lo tanto en este caso se observarán oscilaciones con inversiones de fase, producidas por un desfasamiento de $180^o$, este caso tiene que ver con el hecho de que exista cooperación o antagonismo entre primeros y segundos vecinos.

Anteriormente vimos que las raíces ocurren en parejas recíprocas por lo tanto en la gráfica IV.IV la interpretación que se le da a cada punto, es que está representando por la intercepción de dos ondas, esto es el movimiento está representado por dos ondas que viajan en direcciones opuestas, entonces vemos el porque en la gráfica (IV.IV) aparecen las superposiciones de dos tipos de ondas.