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Vectores tangentes a una curva en una variedad diferenciable

Definición 1.2   Sea $M$ una variedad $C^k$. Llamaremos CURVA en $M$ a una aplicación continua $\gamma$ de un intervalo abierto $I$ de ${\mathbb{R}}$ en $M$. El subconjunto $\gamma (I)$ de M se llama la IMAGEN DE LA CURVA $\gamma$.

Con las notaciones de la definición 6.1.2, sea $t \in I$. Sea $\left( \! U, x\! =\! (x^1,\ldots, x^n) \!\right)$ un mapa admisible de la variedad $M$ en el punto $\gamma (t)$. Por la continuidad de la aplicación $\gamma$, el conjunto $\gamma^{-1} (U)$ es una vecindad abierta $J$ de $t$ en $I$. Disminuyendo $J$ si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $J$ es un intervalo abierto tal que $t \in J \subset I$. Por definición de $J$, $x(\gamma(J)) \subset x(U)$ y, restringiendo $\gamma$ a $J$, podemos considerar la curva $x \circ \gamma$ en el abierto $x(U)$ de ${\mathbb{R}}^n$.

Puesto que $I$, subvariedad abierta de ${\mathbb{R}}$ con su estructura canónica, es una variedad $C^\infty$, podemos hablar de la diferenciabilidad de la curva $\gamma$ en $t$ según la definición 5.2.1. Usando los mapas admsibles $(J,{\rm Id}_y)$ de $I$ en $t$ y $(U,x)$ de $M$ en $\gamma (t)$ vemos que:

La curva $\gamma$ es diferenciable (como diremos por comodidad) EN EL TIEMPO , si y sólo si la curva $x \circ \gamma$ en el abierto $x(U)$ de ${\mathbb{R}}^n$ es diferenciable C.D. (o sea derivable) en el tiempo $t$.

Consideraciones heurísticas

Sea $\cal E$ un espacio afín de dimensión finita y $E$ su espacio vectorial asociado. Sea $\gamma \colon I \to \cal E$ una curva en $\cal E$ diferenciable en el tiempo $t \in I$. Se sabe que el vector derivada:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \gamma' (t) = \lim_{h \to 0} {\gamma (t+h) - \gamma (t) \over h} \in E}$}}$$ (17)

se llama el VECTOR TANGENTE A LA CURVA EN EL TIEMPO . (Los físicos lo llaman VECTOR VELOCIDAD).

Deseamos generalizar esta definición sustituyendo el espacio $\cal E$ por una variedad diferenciable $M$. Evidentemente la fórmula (17) carece de sentido en este caso, pero es natural definir $\gamma ' (t)$ como un vector conveniente del espacio vectorial tangente $M_{\gamma (t)}$. Para encontrar un candidato adecuado volvemos al espacio afín $\cal E$ de dimensión finita y nos fijamos en el vector del espacio tangente ${\cal E}_{\gamma (t)}$ que se identifica con el vector $\gamma' (t) \in E$. Éste es la funcional $\partial_{\gamma'(t)} (\gamma(t)) \colon {\cal D} (\gamma (t)) \to {\mathbb{R}}$, la derivada según el vector $\gamma ' (t)$ en el punto $\gamma (t)$.

Usando la regla de la cadena (teorema 4.4.4) obtenemos $\forall \, f \in {\cal D}(\gamma (t))$:

$$\partial_{\gamma'(t)} (\gamma(t)) \cdot f = \partial_{\gamma'... ...angle \gamma'(t), df(\gamma(t)) \rangle = (f \circ \gamma)' (t)$$

En el caso de una variedad diferenciable resulta, pues, esperanzador, considerar la funcional ${\cal D}(\gamma (t)) \to {\mathbb{R}}$ designada por:

$$f \mapsto (f \circ \gamma)' (t) \quad \mbox{(\lq\lq derivada usual'' o sea C.D.)}$$

Está efectivamente bien definida debido al teorema 5.2.3.

En vista de la adaptación a variedades con bordes conviene previamente hacer algo más generales nuestras consideraciones heurísticas.

Llamaremos CURVA EN EL SEMIPLANO CERRADO $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ a una aplicación continua $\gamma \colon I \to {\frak S}^{(n)}$, donde $I$ es un intervalo arbitrario (no necesariamente abierto) en ${\mathbb{R}}$. Si $I$ contiene uno o dos extremos, $I$ será una variedad con borde de dimensión 1.

Sea $t \in I$. Decir que $\gamma$ es diferenciable en el tiempo $t$ significa según las definiciones 5.5.8 y 4.6.1:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm \begin{minipage}{27em} ... ...a$\ es diferenciable C.D. en el punto $t$. \end{minipage}}}$}}$$ (18)

Pero si $t$ es un extremo de $I$, es común en la enseñanza elemental decir que $\gamma$ es diferenciable en $t$ si:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm \begin{minipage}{27em} ... ...por la derecha o por la izquierda) en $t$. \end{minipage}}}$}}$$ (19)

Felizmente, las afirmaciones (18) y (19) son equivalentes: En primer lugar, (18) implica patentemente (19). En segundo lugar supongamos que $t$ es el extremo izquierdo de $I$ y que $\gamma$ tiene derivada por la derecha $\vec u$ en $t$. Ampliamos $\gamma$ a una curva $\widetilde \gamma$ poniendo:

$$\widetilde{\gamma}(\tau) = \colon \gamma (t) + (\tau-t) \vec u \quad \forall \, \tau <t$$

Claramente $\widetilde \gamma$ cumple la condición (19). Supongamos, pues, que $\gamma$ es diferenciable en el tiempo $t$. Según el teorema de Ellis para semiespacios cerrados (teorema 4.6.10), el vector tangente $\gamma' (t) \in E$ se identifica con el vector tangente

$$\partial_{\gamma'(t)} (\gamma(t)) \in \overline{{\frak S}_{\gamma (t)}^{(n)}}$$

También por el teorema 4.6.5 (``regla de la cadena para semiespacios cerrados'') obtenemos exactamente como arriba $\forall \, f \in {\cal D}(\gamma (t))$:

$$\partial_{\gamma'(t)} (\gamma(t) \cdot f )= \partial_{\gamma'... ...gamma' (t) , df(\gamma(t)) \right\rangle = (f \circ \gamma)'(t)$$

El teorema a continuación se demuestra de modo idéntico para variedades con borde y variedades sin borde. Elegimos, naturalmente, el caso más general de variedades con borde.

Teorema 1.10 (y definición)   Sean $I$ un intervalo de ${\mathbb{R}}$ (no necesariamente abierto), $M$ una variedad con borde de clase $C^k$ y $\gamma \colon I \to M$ una curva en $M$ diferenciable en un tiempo $t \in I$. La funcional ${\cal D}(\gamma (t)) \to {\mathbb{R}}$ dada por:

$$f \mapsto (f \circ \gamma)' (t)$$ (20)

está bien definida y es un vector tangente a la variedad con borde $M$ en el punto $\gamma (t)$ elemento del espacio vectorial $M_{\gamma (t)}$. Se llama el VECTOR TANGENTE A LA CURVA $\gamma$ en el tiempo $t$ y se designa por $\gamma ' (t)$. Así pues:

$$\fbox{${\displaystyle \gamma'(t) \circ f = (f \circ \gamma)'(t) \quad \forall \, t \in {\cal D}(\gamma(t))}$}$$

Demostración
Por ser $\gamma$ diferenciable en el tiempo $t \in I$ y $f$ en el punto $\gamma(t) \in M$, en virtud del teorema 5.5.7 la función $f \circ \gamma \colon I \to {\mathbb{R}}$ es diferenciable en $t$. Equivalentemente: es derivable en $t$ (C.D.).

La funcional ${\cal D}(\gamma (t)) \to {\mathbb{R}}$ dada por: $f \mapsto (f \circ \gamma)'(t)$ está, pues, bien definida. La llamaremos $L$. Debido al ``caso particular'' del teorema 4.3.6 son válidas las siguientes comprobaciones:

1. Si $f_1,\, f_2 \in {\cal D}(\gamma(t))$ y $\alpha_1,\, \alpha_2 \in {\mathbb{R}}$, se verifica:
   $$\begin{eqnarray*} L (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2) &=& \left( (\alpha_1 f_1 + \al... ...(f_2 \circ \gamma)'(t) \\ &=& \alpha_1 L f_1 + \alpha_2 L f_2 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. También si $f,\,g \in {\cal D}(\gamma(t))$, vale:
   $$\begin{eqnarray*} L(fg) &=& \left( (fg) \circ \gamma\right)'(t) \\ &=& \left( ... ... (g \circ \gamma)'(t) \\ &=& g(\gamma(t))Lf + f(\gamma(t)) Lg \end{eqnarray*}$$
   
   

3. Sean $f \in {\cal D}(\gamma(t))$, $f (\gamma(t)) = 0$ y $g \in {\cal C}(\gamma(t))$. Por el teorema 5.5.8 se cumple $fg \in {\cal D}(\gamma(t))$. Se cumple:
   $$\begin{eqnarray*} L (fg) &=& \left( (fg) \circ \gamma\right)' (t) \\ &=& \left... ...gamma (\theta))(f \circ \gamma)'(t) \\ &=& g(\gamma(\theta))Lf \end{eqnarray*}$$
   
   

De a), b), c) vemos que la funcional $f$ satisface las tres propiedades leibnizianas, es decir, $L \in M_{\gamma(t)}$. $\quad\Box$

Observación
Las consideraciones heurísticas que preceden al teorema 6.1.8 garantizan la permanencia de la definición del vector tangente $\gamma ' (t)$.

Teorema 1.11   Sea $M$ una $n$-variedad $C^k$ con borde, $(U,x)$ un mapa admisible de $M$, $\gamma \colon I \to U$ una curva en $U$. La curva $\gamma$ se supone diferenciable en un tiempo $t \in I$, equivalentemente la curva $x \circ \gamma \colon I \to x(U) \subset \overline{{\frak S}}^{(n)}$ se supone derivable en el tiempo $t$. Los correspondientes vectores tangentes se seleccionan por:

$$\fbox{${\displaystyle (x \circ \gamma)'(t) = x_\ast (\gamma(t))\cdot (\gamma'(t))}$}$$

Aquí $x_\ast (\gamma(t))$ es el isomorfismo lineal del espacio vectorial tangente $U_{\gamma (t)} \sim M_{\gamma (t)}$ sobre $x(U)_{(x \circ \gamma)(t)} \sim {\mathbb{R}}^n$, considerado en el teorema 6.1.9.

Demostración
$\forall \, g \in {\cal D}((x \circ \gamma)(t))$ vale por definición del isomorfsimo $x_\ast (\gamma(t))$:

$$\left( x_\ast (\gamma(t)) (\gamma'(t)) \right) \cdot g = \gam... ...x ) = (g \circ x \circ \gamma)'(t)= (x \circ \gamma)'(t)\cdot g$$

$\quad\Box$

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