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Esbozo biográfico del doctor
FUNDAMENTOS DE
VARIEDADES DIFERENCIABLES
Olgierd Alf Biberstein
Recopilado por Guillermo Morales-Luna
Esbozo biográfico del doctor Olgierd Alf Biberstein
Introducción
Formación
Su vida en América Latina
Su obra
Agradecimientos
Contents
Elementos de álgebra exterior
Álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión finita
Álgebra de Grassmann asociada con una base de un espacio vectorial de dimensión finita
El símbolo
El espacio vectorial
G
Elementos homogéneos del álgebra
G
Identificación del subespacio
con el cuerpo
Relación entre el álgebra
G
y un espacio vectorial de dimensión
provisto de una base fija
Ley de conmutación
Casos particulares
Multivectores descomponibles
Repaso de permutaciones
Existencia y unicidad del álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión finita
Estructura de un álgebra exterior sobre
Ampliación exterior de una aplica-cación lineal
Determinantes
Álgebra exterior sobre un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita
Teoría de determinantes
Determinante de un
-uplo de vectores con respecto a una base de un espacio vectorial de dimensión
Orientación de un espacio vectorial real de dimensión finita
Menores de una matriz
Multivectores descomponibles sobre un espacio vectorial de dimensión finita
Aplicaciones multilineales alternadas. Formas exteriores
Aplicaciones multilineales alternadas
Repaso de dualidad
Matriz de la aplicación dual
Anuladores
El bidual de un espacio vectorial
Dualidad en álgebra exterior
Interpretación ``dual'' del producto exterior de formas exteriores
Aplicación dual de una potencia exterior de una aplicación lineal
Formas exteriores vectoriales
Producto exterior de formas exteriores vectoriales
Cambio de base
Cambio de base en espacios vectoriales y sus duales
Cambio de base en productos exteriores y sus duales
Cambio de componentes
Cambio de ``coeficientes vectoriales'' para formas exteriores vectoriales
Álgebra exterior sobre un espacio de producto escalar
Espacios de producto escalar
Matriz de
El isomorfismo
Fórmulas analíticas
Espacios vectoriales euclidianos
Producto escalar canónico en
Producto escalar inducido en
y en
El operador de Hodge
El operador de Hodge en un espacio de producto escalar
El operador de Hodge en
Caracterización geométrica del producto vectorial en el caso euclidiano
Caracterización geométrica del producto vectorial
en el caso euclidiano
Cálculo en variedades diferenciales
Preliminares geométricos y de cálculo diferencial
Espacios afines
Primeras consecuencias de los axiomas
Aplicaciones afines
Semiespacios
Espacios vectoriales normados y espacios afines normados
Aplicaciones lineales continuas
Unos espacios
particulares
Producto de espacios vectoriales normados
Espacios afines normados
Aplicaciones afines continuas
Producto de espacios afines normados
Diferenciación en espacios afines normados reales. Teorema de Ellis
Derivada según un vector
Concepto de diferencial
Diferenciales de funciones reales
Funciones locales en un punto de un espacio afín normado
La funcional
Más sobre diferenciales
El jacobiano
Isomorfismos diferenciables
Productos de espacios afines normados y diferenciales
Diferenciales parciales
Una lista de resultados de cálculo diferencial
Aplicaciones de clase
Aplicaciones de clase
Asuntos relacionados con el rango de la diferencial
Cálculo diferencial en un semiespacio cerrado de un espacio afín de dimensión finita
Diferencial de una aplicación en un punto de
La funcional
Aplicaciones de clase
Isomorfismos
Variedades diferenciables
Mapas y atlas admisibles. Isomorfismos
Cambios de mapas
Atlas maximales
Subvariedad abierta
Estructura
inducida por un homeomorfismo
Isomorfismos
Producto de variedades
Aplicaciones diferenciables
Diferenciabilidad de una aplicación de una variedad diferenciable en un espacio afín normado
Diferenciabilidad de funciones reales
Aplicaciones de clase
Dos casos particulares
Caracterización de mapas admisibles
Caracterización de isomorfismos
Aplicaciones de clase
de una variedad diferenciable en un espacio afín normado
Ejemplos de variedades diferenciables
Espacios afines normados de dimensión finita
La esfera
El espacio proyectivo
Las variedades grassmanianas
Una variedad
no separada
Variedades con borde
como borde de
Subvariedad abierta de una variedad con borde
Producto de una variedad con borde por una variedad diferenciable
Aplicaciones diferenciables
Aplicaciones de clase
Cálculo diferencial en variedades diferenciables
Espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable en un punto
Estudio del espacio vectorial tangente
en presencia de un mapa admisible de
en
Generalización del concepto de derivadas parciales con respecto a un mapa admisible. Derivadas parciales de orden superior.
Espacio vectorial tangente a una variedad con borde
Notación definitiva para vectores tangentes en un punto de una variedad
Vectores tangentes a una curva en una variedad diferenciable
Componentes del vector
Diferenciación
Consideraciones heurísticas
Caso de variedades con bordes
Diferenciales y curvas
Diferenciales de funciones reales
Bibliography
Index
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Guillermo M. Luna
2009-06-14
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